学历案导航

范例 · 高中物理 · 新授课

电势差与电场强度的关系

理科新授课：悬念贯穿全课，先猜后算暴露前概念，公式推导、计算与等分法模型逐级进阶。

学生版教师版（含答案与教学设计）彩色标签

电势差与电场强度的关系学历案

——高二 · 人教版必修第三册第十章第3节｜新授课｜1课时，40分钟

【学习主题】

通过电场力做功的两种求法推出 $U_{A B} = E d$ 及其变形式 $E = \frac{U_{A B}}{d}$ ，建立“力—能”结合的物理思维；理解 $d$ 是沿电场方向的距离；能处理平行板电场、等分法求场强等匀强电场问题，能定性比较非匀强电场中电势降落的快慢；能用本节规律解释“跨步电压”的逃生原理。（1课时，40分钟）

【课标与学业质量要求】

1. 课程标准要求：知道匀强电场中电势差与电场强度的定量关系，能进行有关计算，理解公式中 $d$ 的物理意义。

2. 学业质量：本节对标水平三至水平四——能在具体情境中建构匀强电场模型，进行科学推理，解释生产生活中的静电现象。

【学习目标】

G1 能从“力”和“能”两个角度推导 $U_{A B} = E d$ （含移动方向与电场方向成 $θ$ 角的情形），说出 $d$ 的物理意义，并推导 $1 V / m = 1 N / C$ 。（L2）

G2 能说出 $U_{A B} = E d$ 的适用条件，诊断概念辨析题中的典型错误并说明错因。（L3）

G3 能用 $U_{A B} = E d$ 完成平行板电场的计算，并用功能关系解释“板距加倍、到达速度不变”。（L3—L4）

G4 能用等分法找出匀强电场的等势线并求出场强；能比较非匀强电场中电势降落的快慢，并解释跨步电压逃生的原理。（L4—L5）

【评价任务】

编码	评价任务	对应目标	完成标准
T1	推导任务单：用两种方法写出电场力做的功，联立得出 $U_{A B} = E d$ ；向同桌说明 $d$ 的意义；完成单位等价推导	G1	两种情形推导完整；口头说明准确
T2	错题医院：逐项诊断典例1四个选项的错因	G2	能指出“适用条件”“有效距离”“因果倒置”三类错误
T3	先猜后算：预测板距加倍后粒子的到达速度，再计算验证并解释	G3	计算正确；能分别用“力”和“能”两条线索解释
T4	等分法求场强；判断非匀强电场中点的电势；用 $U_{A B} = E d$ 解释“并脚跳”逃生	G4	等分法三步完整；每个结论都有依据

【学法建议】

① 预测—观察—解释：遇到“先猜”环节，先独立写下直觉，再推导检验，最后说出“意外从何而来”。
② 投影转化：斜向距离一律先投影到电场方向， $d = L \cos θ$ ，并画图。
③ 等分法口诀：找等势—定方向—算距离。

【学习过程】

一、课前准备（约15分钟）

开课悬念（先别查答案，写下你的直觉）

雷雨天，一条高压线断落在离你10米的操场地面上。消防教官喊：“双脚并拢跳着离开，千万不要迈大步跑！”

我的逃生方案（单选，课尾揭晓）：A. 迈大步快速跑开　B. 小碎步慢慢走开　C. 双脚并拢跳着离开

我猜教官这样要求的原因：

复习

1. 电场力做功的两种求法： $W =$ ； $W =$ 。

2. 电场线与等势面的关系是；电场线越密的地方，场强越。

二、课中学习（40分钟）

活动一　悬念启动〔2分钟〕

观看跨步电压事故片段，全班投票选择逃生方案，票数写在黑板的“悬念进度条”上。本课每得出一个结论，进度条点亮一格。

活动二　双向推导〔T1｜9分钟〕

【先猜】匀强电场中，A、B 两点离得越远，电势差是否一定越大？

【推导任务单】

1. 沿电场方向移动电荷 $q$ ，位移为 $d$ ：力的角度 $W =$ ；能的角度 $W =$ ；联立得。

2. 移动方向与电场方向成 $θ$ 角，位移为 $L$ ：力的角度 $W =$ ；能的角度 $W =$ ；联立得 $U_{A B} =$ ，其中 $d =$ 。

3. 当 $θ = 90^{\circ}$ 时， $W =$ ， $U_{A B} =$ 。这说明：有用的距离不是任意距离，而是。

【单位之谜】由 $E = \frac{F}{q}$ 和下式说明为什么 $1 V / m = 1 N / C$ ，并说出“ $1 V / m$ ”的含义。

E = \frac{U_{A B}}{d}

活动三　错题医院〔T2｜5分钟〕

【典例1】对公式 $U_{A B} = E d$ 和 $E = \frac{U_{A B}}{d}$ 的理解，下列说法正确的是（　　）

A. $U_{A B} = E d$ 适用于计算任何电场中 A、B 两点间的电势差

B. 由 $U_{A B} = E d$ 知，A、B 间距离越大，两点间的电势差越大

C. 由 $E = \frac{U_{A B}}{d}$ 知，匀强电场中 A、B 沿电场线的距离越大，场强越小

D. 公式中的 $d$ 是匀强电场中 A、B 所在两等势面之间的距离

选项	错因诊断
A
B
C
正确选项

活动四　先猜后算〔T3｜9分钟〕

【典例2】真空中平行金属板 M、N 的间距 $d = 0.04 m$ ，两板间加 $200 V$ 电压。一个质量 $m = 2 \times 10^{- 15} kg$ 、电荷量 $q = 8 \times 10^{- 15} C$ 的带电粒子从 M 板旁由静止释放（重力不计）。

（1）求粒子所受静电力的大小；

（2）求粒子到达 N 板时的速度大小；

（3）【先猜后算】若两板距离增大为原来的2倍，其他条件不变，粒子到达 N 板的速度将（A. 变大　B. 变小　C. 不变）。先投票，再计算验证，最后分别用“力”和“能”两条线索解释。

活动五　等分法求场强〔T4｜9分钟〕

【典例3】匀强电场平行于矩形 ABCD 所在平面， $A B = 6 cm$ ， $B C = 4 cm$ ，A、B、C 三点的电势分别为 $8 V$ 、 $20 V$ 、 $14 V$ 。电场强度的大小为（　　）

A. $150 V / m$ 　B. $200 V / m$ 　C. $250 V / m$ 　D. $300 V / m$

〔此处插图：矩形 ABCD，A 在左下角，B 在右下角，标出 A、B、C 三点的电势〕

1. 【先猜】直接用 $\frac{20 - 8}{0.06} V / m$ 求场强行不行？为什么？

2. 找等势：AB 上电势均匀变化，与 C 点等势（ $14 V$ ）的点 M 在；用 $φ_{A} + φ_{C} = φ_{B} + φ_{D}$ 求出 $φ_{D} =$ ，作为核对。

3. 定方向：连接 CM 即为等势线，电场方向垂直于 CM，由电势处指向电势处。

4. 算距离：B 到 CM 的距离 $d^{'} =$ ，于是 $E = \frac{U_{B M}}{d^{'}} =$ 。

活动六　非匀强电场与悬念揭晓〔T4｜4分钟〕

【先猜】某非匀强电场中，a、c 两点在同一条电场线上， $φ_{a} = 30 V$ ， $φ_{c} = 10 V$ ，a 附近电场线较密。a、c 连线中点 b 的电势是 $20 V$ 吗？

【悬念揭晓】高压线落地后，地面形成以落点为圆心的同心圆等势线。并脚跳时两脚几乎在同一等势线上，沿电场方向的距离 $d \approx 0$ ，跨步电压 $U \approx 0$ ；沿半径方向迈大步， $d$ 最大，跨步电压最大。请用一句话写下教官口令背后的物理规律：

活动七　当堂检测与反思〔T1｜2分钟〕

完成“作业与检测”中的当堂检测，填写学后反思第1项。

【作业与检测】

当堂检测

匀强电场的场强 $E = 200 V / m$ ，A、B 两点相距 $L = 10 cm$ ，AB 连线与电场方向成 $60^{\circ}$ 角，则 $U_{A B} =$ V。

课后分层作业

A 基础巩固

1. 高压输电线掉落在水平地面上的 O 点，地面形成以 O 为圆心的一系列同心圆等势线。下列说法正确的是（　　）

A. 离 O 越远，电场强度越大　B. 离 O 越远，电场强度越小

C. 无论向哪个方向跨步，两脚间距离越大，跨步电压越大　D. 无论向哪个方向跨步，两脚间距离越大，跨步电压越小

2. 某电场中 a、c 两点在同一条电场线上， $φ_{a} = 30 V$ ， $φ_{c} = 10 V$ ，a 附近电场线较密，则 a、c 连线中点 b 的电势（　　）

A. $φ_{b} = 20 V$ 　B. $φ_{b} > 20 V$ 　C. $φ_{b} < 20 V$ 　D. 无法确定

B 能力提升

3. a、b、c、d 是匀强电场中菱形的四个顶点（按顺序排列），电场线与菱形所在平面平行。已知 $φ_{a} = 12 V$ ， $φ_{b} = 20 V$ ， $φ_{d} = 6 V$ ，则 c 点电势为（　　）

A. $8 V$ 　B. $24 V$ 　C. $12 V$ 　D. $14 V$

4. 有人说：“既然 $U = E d$ ，在点电荷 Q 的电场中，只要测出 A、B 两点的电势差和距离，就能算出该处的场强。”请指出这一说法的两处错误，并说明如何定性比较 A、B 附近场强的大小。

C 拔尖挑战（选做）

5. 平面直角坐标系中有平行于坐标平面的匀强电场。A 点坐标为 $(6 cm, 0)$ ，电势 $8 V$ ；B 点坐标为 $(0,3 cm)$ ，电势 $4 V$ ；坐标原点 O 的电势为 $0$ 。求：（1）x 轴上与 B 点电势相同的点的位置；（2）电场强度的大小。

6. 我是命题人：以“跨步电压”为情境命制一道选择题，附答案、解析，并注明考查的知识点。

【学后反思】

1. 【学会了】 $U_{A B} = E d$ 中的 $d$ 到底指什么？请画图说明，不看书写出来。

2. 【会学了】今天我用“先猜后算”纠正了自己的哪一个直觉？当时的直觉错在哪一步？

3. 【还差什么】等分法三步中，我最没把握的是哪一步？请找一道题再做一遍。

4. 【想探究】关于电势差与电场强度的关系，我还想弄清楚的问题是：

教师用部分

导出“教师版”时，这些内容另起一页附在学历案后面。

【参考答案】教师用

课前复习　1. $W = q U_{A B}$ ； $W = F L \cos θ$ 　2. 电场线与等势面垂直；大

活动二　1. $W = q E d$ ； $W = q U_{A B}$ ； $U_{A B} = E d$ 　2. $W = q E L \cos θ$ ； $W = q U_{A B}$ ； $U_{A B} = E L \cos θ$ ； $d = L \cos θ$ （ $L$ 在电场方向上的投影）　3. $0$ ； $0$ ；沿电场方向的距离

单位：由 $E = \frac{F}{q}$ 得单位 N/C，由 $E = \frac{U}{d}$ 得单位 V/m， $1 V / m = 1 J / (C \cdot m) = 1 N \cdot m / (C \cdot m) = 1 N / C$ 。“ $1 V / m$ ”表示沿电场方向每前进 1 m，电势降低 1 V。

典例1　D。A 错在适用条件（只适用于匀强电场）；B 错在距离（ $d$ 是沿电场方向的距离）；C 错在因果（场强由电场本身决定，与两点距离无关）。

典例2　（1） $E = \frac{U}{d} = \frac{200}{0.04} V / m = 5 \times 10^{3} V / m$ ， $F = q E = 8 \times 10^{- 15} \times 5 \times 10^{3} N = 4 \times 10^{- 11} N$

（2）由 $q U = \frac{1}{2} m v^{2}$ 得 $v = \sqrt{\frac{2 q U}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 8 \times 10^{- 15} \times 200}{2 \times 10^{- 15}}} m / s = 40 m / s$

（3）C。板距加倍，场强和静电力都减半，但电压不变， $W = q U$ 不变，所以速度仍为 $40 m / s$ ：力的线索看过程，能的线索看结果。

典例3　C。AB 上电势每厘米升高 $2 V$ ，AB 中点 M 的电势为 $14 V$ ，与 C 等势（核对： $φ_{D} = φ_{A} + φ_{C} - φ_{B} = 2 V$ ）。CM 为等势线，场强方向垂直于 CM 并指向电势低处。直角三角形 MBC 中， $B M = 3 cm$ ， $B C = 4 cm$ ， $C M = 5 cm$ ，B 到 CM 的距离 $d^{'} = \frac{3 \times 4}{5} cm = 2.4 cm$ ， $E = \frac{U_{B M}}{d^{'}} = \frac{6}{0.024} V / m = 250 V / m$ 。

活动六　不是。a 附近电场线密，场强大，电势降落快，前半段降低的电势超过 $10 V$ ，所以 $φ_{b} < 20 V$ 。

当堂检测　 $d = L \cos 60^{\circ} = 0.05 m$ ， $U_{A B} = E d = 10 V$ 。

课后作业　1. B（沿切向跨步时两脚在同一等势线上，跨步电压约为零，所以 C、D 都不对）　2. C　3. D（ $φ_{c} = φ_{b} + φ_{d} - φ_{a} = 14 V$ ）　4. 错误一： $U = E d$ 只适用于匀强电场，点电荷的电场不是匀强电场；错误二： $d$ 应是沿电场方向的距离，而不是任意两点间的距离。定性比较：等差等势面越密的地方场强越大。　5.（1）x 轴上电势均匀变化， $φ = \frac{4}{3} x$ （ $x$ 以 cm 为单位），与 B 等势的点为 $(3 cm, 0)$ ；（2）等势线过 $(0,3 cm)$ 与 $(3 cm, 0)$ ，O 到它的距离为 $\frac{3}{\sqrt{2}} cm$ ， $E = \frac{4}{3 / \sqrt{2}} V / c m = \frac{4 \sqrt{2}}{3} V / c m \approx 1.9 \times 10^{2} V / m$ 　6. 开放题，从情境真实、选项有效、解析准确三方面评价。

【教学设计】教师用

一、教学内容分析

本节是“静电场中的能量”一章的核心衔接课：前两节分别讲电场强度（力的性质）和电势、电势差（能的性质），本节通过电场力做功把两条线索定量地连起来，上承电场基本概念，下启电容器、带电粒子在电场中的运动。跨步电压情境同时承担科学态度与责任（安全用电）的教育价值。

二、学情与前概念

前概念	诊断方式
两点距离越大，电势差越大	活动二【先猜】投票
N/C 与 V/m 互不相干	单位之谜口头提问
场强随两点距离变化	典例1 选项 C 的票数
板距变化必然引起速度变化	典例2 第（3）问投票
拿到电势就直接除以边长求场强	典例3【先猜】记录
非匀强电场中电势沿直线均匀变化	活动六【先猜】投票

三、教学重难点

重点： $U_{A B} = E d$ 的推导、 $d$ 的物理意义与适用条件；平行板模型与等分法的应用。

难点：电场强度的第二重意义（电势降落最快的方向）；匀强电场定量计算与非匀强电场定性分析的区分；等分法“先定方向、再算距离”的思维顺序。

四、时间预算

活动	内容	时长	超时预案
一	悬念启动	2′	视频只放 30 秒
二	双向推导＋单位之谜	9′	单位之谜改为课后思考
三	错题医院	5′	改为全班投票后点评一项
四	先猜后算	9′	第（1）问只核对答案
五	等分法求场强	9′	教师示范第 4 步
六	非匀强电场＋悬念揭晓	4′	悬念揭晓必须保留
七	当堂检测与反思	2′	反思改为课后填写

五、板书设计

左栏（知识主线）：力的线索 $W = q E L \cos θ$ ；能的线索 $W = q U_{A B}$ ； $U_{A B} = E d$ （只适用于匀强电场， $d$ 沿电场方向）； $1 V / m = 1 N / C$ （电势降落的快慢）；等分法：找等势—定方向—算距离。

右栏（悬念主线）：跨步电压逃生之谜——投票票数、解锁进度、结论“并脚跳 $d \approx 0$ ， $U \approx 0$ ”。