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二项式定理的应用：指定项系数的求解

数学复习课：从“每个括号取一项”的组合观点重新理解二项式定理，由二项式到两因式乘积再到三项式，题组逐级进阶，探究“转化”与“组合计数”两种方法，当堂检测配错因诊断。

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二项式定理的应用：指定项系数的求解学历案

——高三 · 高三一轮复习·二项式定理（第1课时）｜复习课｜1课时，40分钟

【学习主题】

二项式定理的应用——求展开式中指定项的系数：回顾二项式定理及其推导中蕴含的组合原理；用通项公式解决二项式和两因式乘积型的指定项系数问题；把三项展开式“转化”为二项式，或直接用组合计数求解，并推广到一般公式。（1课时，40分钟）

【课标与学业质量要求】

1. 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题（数学运算、逻辑推理）。

2. 在把三项式问题转化为二项式问题的过程中，体会化归与转化的思想（逻辑推理、数学抽象）。

学业质量：对应水平二，能在熟悉和关联的情境中，选择恰当的方法求展开式中指定项的系数，并说明方法的依据。

【学习目标】

G1 能写出二项式定理与通项公式，并用“每个括号取一项”的组合观点说明第 $r + 1$ 项系数为 $C_{n}^{r}$ 的原因。（L1—L2）

G2 能用通项公式求二项展开式和形如 $(a + b) {(c + d)}^{n}$ 的展开式中指定项的系数，限时8分钟完成练习1、练习2共4题，至少对3题。（L2—L3）

G3 能用“转化为二项式”和“组合计数”两种方法求三项展开式中指定项的系数，并说出各自适合的情形。（L3—L4）

G4 能把组合计数推广为 ${(a + b + c)}^{n}$ 中 $a^{p} b^{q} c^{r}$ 项系数的一般公式，并在3分钟内用它解一道新题；能对自己的错题写出“错因三问”。（L4—L5）

【评价任务】

编码	评价任务	对应目标	完成标准
T1	课前准备的展示：写出定理与通项，口述系数的组合来历	G1	定理、通项书写无误；能用“从 $n$ 个括号中选 $r$ 个取 $b$ ”说清 $C_{n}^{r}$
T2	练习1、练习2限时完成，同桌互批	G2	4题至少对3题；每题写出所用的通项
T3	探究1：同一道题用两种方法各做一遍	G3	两种方法都得到正确结果；能说出何时用哪种
T4	探究2推广公式；练习3；当堂检测与错因三问	G4	公式正确；练习3至少对3题；错题都有错因诊断

【学法建议】

① 抓“组合观点”： ${(a + b)}^{n}$ 是 $n$ 个括号相乘，展开式的每一项都是“每个括号各取一项”乘出来的，系数就是取法的种数。
② 先写通项，再定 $r$ ：求指定项，先写出 $T_{r + 1}$ ，整理 $x$ 的指数，令它等于目标指数，解出 $r$ 。
③ 遇到三项，先想转化：能分组就把两项看成一个整体；不好分组时，直接数“每个括号取哪一项”。
④ 错因三问：错在哪一步？依据的是什么规则？正确做法是什么？

【学习过程】

一、课前准备（约15分钟）

1. 写出二项式定理与通项公式：

（1） ${(a + b)}^{n} =$

（2） $T_{r + 1} =$

2. 用自己的话说一说：为什么第 $r + 1$ 项的系数是 $C_{n}^{r}$ ？（提示： ${(a + b)}^{n}$ 是 $n$ 个 $(a + b)$ 相乘）

二、课中学习（40分钟）

活动一　回顾：系数从哪里来〔T1｜5分钟〕

两位同学展示课前准备第1、2题，全班补充。

思考： ${(a + b)}^{5}$ 展开式中 $a^{3} b^{2}$ 项，是从5个括号中选个括号取 $b$ 、其余取 $a$ 得到的，所以系数是。

活动二　夯实基本题〔T2｜10分钟〕

限时8分钟独立完成，同桌互批2分钟。每题先写出你用到的通项。

练习1

（1）（2018年上海卷）在 ${(1 + x)}^{7}$ 的二项展开式中， $x^{2}$ 项的系数为。

（2）（2013年上海卷）设常数 $a \in 𝐑$ ，若 ${(x^{2} + \frac{a}{x})}^{5}$ 的二项展开式中 $x^{7}$ 项的系数为 $- 10$ ，则 $a =$ 。

小结：求二项展开式中指定项的系数，步骤是：

练习2

（1）（2017年全国卷Ⅰ） $(1 + \frac{1}{x^{2}}) {(1 + x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数为。

（2） $(x + 1) {(2 x - 1)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数为。

小结：求形如 $(a + b) {(c + d)}^{n}$ 的展开式中指定项的系数，方法是：

活动三　探究：三项式怎么办〔T3｜10分钟〕

探究1（2015年上海卷）在 ${(1 + x + \frac{1}{x^{2015}})}^{10}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为。

1. 方法一（转化）：把哪两项看成一个整体？写出转化后的通项：

2. 方法二（组合计数）：10个括号相乘，要得到 $x^{2}$ ，每个括号应该取哪一项？有几种取法？

3. 【先猜后证】三项式的问题，是不是都能用“转化”解决？比较两种方法，说出各自适合的情形：

活动四　推广与应用〔T4｜10分钟〕

探究2　把方法二推广到一般：在 ${(a + b + c)}^{n}$ 的展开式中， $a^{p} b^{q} c^{r}$ （ $p + q + r = n$ ）项的系数是多少？写出推理过程。

练习3（限时6分钟）

（1）在 ${(a + b + c)}^{6}$ 的展开式中， $a b^{2} c^{3}$ 项的系数为。

（2）在 ${(a^{2} + a + c)}^{6}$ 的展开式中， $a^{5} c^{3}$ 项的系数为。

（3）（2015年全国卷Ⅰ）在 ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中， $x^{5} y^{2}$ 项的系数为。

（4）在 ${(1 + 2 x - x^{2})}^{4}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为。

小结：求三项展开式中指定项的系数，方法是：

活动五　当堂检测与错因诊断〔T2、T3｜5分钟〕

完成“作业与检测”中的当堂检测3题（4分钟），对答案；有错的题当场填写检测报告中的“错因”一栏。

【作业与检测】

当堂检测（4分钟）

1.（G2） ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为。

2.（G2） $(1 - 2 x) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数为。

3.（G3） ${(1 + x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y$ 项的系数为。

课后分层作业

A 基础巩固（全体完成）

1.（G2）已知 ${(x + a)}^{7}$ 的展开式中 $x^{4}$ 项的系数是 $- 280$ ，则 $a =$ 。

2.（G2） ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为。

3.（G2） ${(x + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，求 $n$ 的值及展开式中 $x^{5}$ 项的系数。

B 能力提升（中等及以上完成）

4.（G3） ${(x^{2} + 3 x + 2)}^{5}$ 的展开式中 $x$ 项的系数为。（提示：先因式分解）

5.（G3）用两种方法求 ${(1 + x + x^{2})}^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数，并比较哪种更简便。

C 拔尖挑战（选做）

6.（G4）求 ${(1 + x + x^{2} + x^{3})}^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数，并说说四项式问题可以怎样转化。

检测报告（当堂检测与作业的错题都填进来）

题号	对应目标	结果（对／错）	错因三问：错在哪一步—依据什么规则—正确做法

【学后反思】

维度	自我追问	我的回答
学会了什么	不看书，我能说出“每个括号取一项”为什么能求系数吗？
怎么学会的	探究1的两种方法，哪一种我更容易想到？为什么？
还差什么	我的错题主要错在“写通项”“定 $r$ ”还是“算系数（符号）”？
下一步	遇到四项式或乘积式，我会先试哪一种转化？

教师用部分

导出“教师版”时，这些内容另起一页附在学历案后面。

【参考答案】教师用

课前准备　 ${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{r} a^{n - r} b^{r} + \dots + C_{n}^{n} b^{n} (n \in 𝐍^{*})$ ； $T_{r + 1} = C_{n}^{r} a^{n - r} b^{r}$ 。 ${(a + b)}^{n}$ 是 $n$ 个 $(a + b)$ 相乘，含 $a^{n - r} b^{r}$ 的项，是从 $n$ 个括号中选出 $r$ 个取 $b$ 、其余取 $a$ 得到的，取法有 $C_{n}^{r}$ 种。

活动一　2； $C_{5}^{2} = 10$

练习1　（1） $T_{r + 1} = C_{7}^{r} x^{r}$ ， $r = 2$ ，系数为 $C_{7}^{2} = 21$ 。（2） $T_{r + 1} = C_{5}^{r} {(x^{2})}^{5 - r} {(\frac{a}{x})}^{r} = C_{5}^{r} a^{r} x^{10 - 3 r}$ ，令 $10 - 3 r = 7$ ，得 $r = 1$ ， $5 a = - 10$ ， $a = - 2$ 。

练习2　（1） $x^{2}$ 项来自 $1 \cdot C_{6}^{2} x^{2}$ 与 $\frac{1}{x^{2}} \cdot C_{6}^{4} x^{4}$ ，系数为 $15 + 15 = 30$ 。（2） ${(2 x - 1)}^{5}$ 中 $x^{2}$ 项系数为 $C_{5}^{2} \cdot 2^{2} \cdot {(- 1)}^{3} = - 40$ ， $x^{3}$ 项系数为 $C_{5}^{3} \cdot 2^{3} \cdot {(- 1)}^{2} = 80$ ，所求为 $1 \times (- 40) + 1 \times 80 = 40$ 。小结：分别找出两个因式中“配对”能凑成目标次数的项，系数相乘再相加。

探究1　方法一：把 $1 + x$ 看成整体， $T_{k + 1} = C_{10}^{k} {(1 + x)}^{10 - k} x^{- 2015 k}$ ，只有 $k = 0$ 时才可能出现 $x^{2}$ ，所以系数为 $C_{10}^{2} = 45$ 。方法二：10个括号中选2个取 $x$ ，其余8个取1，取法有 $C_{10}^{2} = 45$ 种。比较：能把两项合成整体、且另一项很快被排除时，转化简便；三项都可能参与时，直接组合计数更清楚。

探究2　先从 $n$ 个括号中选 $p$ 个取 $a$ ，再从剩下的 $n - p$ 个中选 $q$ 个取 $b$ ，其余取 $c$ ，系数为 $C_{n}^{p} C_{n - p}^{q} = \frac{n!}{p! q! r!}$ 。

练习3　（1） $\frac{6!}{1! 2! 3!} = 60$ 　（2）选3个括号取 $c$ ： $C_{6}^{3} = 20$ ；剩下3个括号取 $a^{2}$ 、 $a$ 凑成 $a^{5}$ ，需两个 $a^{2}$ 、一个 $a$ ： $C_{3}^{2} = 3$ ；系数为 $60$ 。　（3）选2个括号取 $y$ ： $C_{5}^{2} = 10$ ；剩下3个括号凑 $x^{5}$ ，需两个 $x^{2}$ 、一个 $x$ ： $C_{3}^{2} = 3$ ；系数为 $30$ 。　（4）把 $2 x - x^{2}$ 看成整体： $C_{4}^{2} {(2 x - x^{2})}^{2}$ 中 $x^{3}$ 项系数为 $6 \times (- 4) = - 24$ ， $C_{4}^{3} {(2 x - x^{2})}^{3}$ 中 $x^{3}$ 项系数为 $4 \times 8 = 32$ ，合计 $8$ 。

当堂检测　1. $T_{r + 1} = C_{6}^{r} {(- 2)}^{r} x^{6 - 2 r}$ ， $r = 3$ ，常数项为 $20 \times (- 8) = - 160$ 。　2. $1 \times C_{5}^{2} + (- 2) \times C_{5}^{1} = 10 - 10 = 0$ 。　3. $\frac{5!}{2! 1! 2!} = 30$ 。

A组　1. $T_{r + 1} = C_{7}^{r} a^{r} x^{7 - r}$ ， $r = 3$ ， $35 a^{3} = - 280$ ， $a = - 2$ 。　2. $T_{r + 1} = C_{6}^{r} {(- 1)}^{r} x^{12 - 3 r}$ ， $r = 4$ ，常数项为 $15$ 。　3. $2 C_{n}^{2} = C_{n}^{1} + C_{n}^{3}$ ，化简得 $n^{2} - 9 n + 14 = 0$ ， $n = 7$ （ $n = 2$ 不合题意，舍去）； $T_{r + 1} = C_{7}^{r} x^{7 - 2 r}$ ，令 $7 - 2 r = 5$ ， $r = 1$ ，系数为 $7$ 。

B组　4. ${(x^{2} + 3 x + 2)}^{5} = {(x + 1)}^{5} {(x + 2)}^{5}$ ， $x$ 项系数为 $5 \times 2^{5} + 1 \times C_{5}^{1} \times 2^{4} = 160 + 80 = 240$ 。　5. 方法一： ${(1 + x + x^{2})}^{4} = {[(1 + x) + x^{2}]}^{4}$ ， $x^{3}$ 项来自 $C_{4}^{0} {(1 + x)}^{4}$ 中的 $x^{3}$ （系数4）和 $C_{4}^{1} {(1 + x)}^{3} x^{2}$ 中的 $x^{3}$ （系数 $4 \times 3 = 12$ ），合计 $16$ 。方法二：取三个 $x$ 、一个1： $C_{4}^{3} = 4$ ；取一个 $x^{2}$ 、一个 $x$ 、两个1： $4 \times 3 = 12$ ；合计 $16$ 。

C组　 $1 + x + x^{2} + x^{3} = (1 + x) (1 + x^{2})$ ，原式 $= {(1 + x)}^{4} {(1 + x^{2})}^{4}$ ， $x^{3}$ 项系数为 $C_{4}^{3} \times 1 + C_{4}^{1} \times C_{4}^{1} = 4 + 16 = 20$ 。四项式可尝试因式分解或分组，转化为两个二项式的乘积。

【教学设计】教师用

一、教学内容与学情分析

本课是二项式定理复习的第一课时，要解决两个问题：会求展开式中指定项的系数（高考常见题型）；理解二项式定理推导中的组合原理（它为三项式甚至多项式的系数问题指明了方向）。

学情：高三学生会套通项公式解二项式问题，但对“系数从哪里来”只记结论；遇到三项式时不知道怎样转化，或者转化后计算混乱。原课例的检测目标一栏是空的，目标“提高能力”“提升素养”无法检验，全部公式又是图片，无法编辑；本版重写了目标与评价任务，公式全部改为可编辑的形式，并补上了全部答案。

二、教学重难点

重点：用通项公式求指定项的系数。

难点：三项展开式指定项系数的两种求法及其选择。

三、40分钟时间预算与“红灯线”

环节	内容	时长	累计	红灯线（超时怎么办）
活动一	课前准备展示	5′	5′	只请一人展示，教师补充组合观点
活动二	练习1、练习2	10′	15′	只讲错误率最高的一题
活动三	探究1两种方法	10′	25′	方法一由教师示范，方法二学生完成
活动四	探究2与练习3	10′	35′	练习3只做（1）（3），其余课后
活动五	当堂检测与错因	5′	40′	必保

四、板书设计

左栏：二项式定理与通项 $T_{r + 1} = C_{n}^{r} a^{n - r} b^{r}$ ；求指定项：写通项 → 整理指数 → 解 $r$ → 算系数。

中栏：乘积型 $(a + b) {(c + d)}^{n}$ ：分别配对，相乘再相加。

右栏：三项式：转化（两项看作整体）／组合计数 $\frac{n!}{p! q! r!}$ 。

五、课后反思提纲

1. 练习1、练习2的正确率各是多少？错误集中在定 $r$ 还是算符号？

2. 探究1中，自己想到方法二的学生有多少？

3. 检测报告中的错因诊断是否具体？哪一类错误最多？